Análise Não-Paramétrica

A análise não-paramétrica permite que a pessoa caracterize os seus dados de vida sem supor uma distribuição subjacente. Isto pode ser vantajoso pois evita alguns dos perigos inerentes em uma análise onde uma distribuição imprópria é suposta. Entretanto, a análise é limitada as estimativas da confiabilidade para a escala do conjunto de dados, fazendo com que se torne impossível fazer predições da confiabilidade fora desta escala. Enquanto isto limita um pouco a utilidade deste método, a análise não-paramétrica pode ser usada para defrontar com a acurácia da análise paramétrica. O software Weibull++ da ReliaSoft contem a técnica de análise não-paramétrica.

Há diversos métodos não-paramétricos para conduzir uma análise, como o método de Kaplan-Meier, atuarial simples e atuarial padrão. Um método para calcular os intervalos de confiança na análise dos resultados também pode ser desenvolvido. A base da análise não-paramétrica para dados de vida é a função empírica da f.d.c., que é dada por:

Estimador de Kaplan-Meier
O estimador de Kaplan-Meier, também é conhecido como estimador produto limite, pode ser usado para calcular valores da confiabilidade não-paramétrica para o conjunto de dados com múltiplas falhas e suspensões. A equação do estimador é dada por:

onde m é o total de números de pontos e n é o total de unidades analisadas. A variável n_i é definida por:

onde r_j é o número de falhas no j-ésimo grupo, e s_j é o número de suspensões do j-ésimo grupo. Note que, as confiabilidades estimadas estão sendo calculadas somente para os tempo que ocorreram uma ou mais falhas. Isto ocorre porque o cálculo do valor de n_i é realizado para os tempos onde ocorreram falhas e suspensões, e é assumido que as suspensões ocorrem um pouco depois das falhas, portanto os itens suspensos são considerados em operação e inclusos na contagem dos n_i.

Exemplo do Estimador de Kaplan-Meier
Um grupo de 20 unidades são postos em um teste de vida, obtendo os seguintes resultados:

Usando o estimador de Kaplan-Meier para os dados, a tabela com as confiabilidades estimadas pode ser construída.

Tempo do Estado Final	Número de Falhas, ri	Números de Suspensões, si	Unidades Disponíveis, ni
9	3	1	20	0.850	0.850
11	1	0	16	0.938	0.797
12	0	1	15	1.000	0.797
13	1	1	14	0.929	0.740
15	0	1	12	1.000	0.740
17	1	0	11	0.909	0.673
21	1	0	10	0.900	0.605
22	0	1	9	1.000	0.605
24	0	1	8	1.000	0.605
26	0	1	7	1.000	0.605
28	1	0	6	0.833	0.505
30	1	0	5	0.800	0.404
32	0	1	4	1.000	0.404
35	0	1	3	1.000	0.404
39	0	1	2	1.000	0.404
41	0	1	1	1.000	0.404

Como pode ser determinado da tabela precedente, as confiabilidades estimadas para os tempos de falhas são:

Método Atuarial Simples
O método atuarial simples é uma forma simples e fácil de realizar a análise não-paramétrica de dados e pode ser utilizado para dados com múltiplas censuras que estão arranjados em intervalos. Este método é baseado no cálculo do número de falhas em um intervalo de tempo, r_j, versus o número de itens operando no período de tempo, n_i. A equação para estimar a confiabilidade pelo método atuarial é dado por:

onde m é o número total de intervalo e n é o número total de unidades analisadas. A variável n_i é definida por:

onde r_j é o número de falhas no j-ésimo intervalo e s_j é o número de suspensões no j-ésimo intervalo.

Exemplo do Método Atuarial Simples
Um grupo de 55 unidades é posto em um teste de vida onde a cada 50 horas as unidades são inspecionadas. Os resultados deste teste é apresentado na tabela seguinte:

As confiabilidades estimadas pelo método atuarial simples pode ser obtida pela expansão da tabela de dados para incluir os termos usados no cálculo das estimativas da confiabilidade pela equação do atuarial simples.

Como pode ser determinado da tabela precedente, a confiabilidade estimada para os tempos de falhas são:

Método Atuarial Padrão
O método atuarial padrão é uma variação do método atuarial simples e envolve o ajuste do valor dos números de itens operando em um intervalo. O Kaplan-Meier e o método atuarial simples assumem que as suspensões em um período de tempo ou intervalo, ocorrem no final do intervalo, após as falhas terem ocorrido. O método atuarial padrão, assume que as suspensões ocorreram no meio do intervalo, o que gera uma redução, pela metade, do número de itens disponíveis no intervalo (suspensões), ou seja:

Com este ajuste, os cálculos podem ser realizados como no método contábil simples,

Exemplo do Método Atuarial Padrão
Neste exemplo, nós aplicaremos o método atuarial padrão à série de dados de usada no exemplo do método atuarial simples. A solução deste exemplo é similar àquela do exemplo precedente, com exceção da inclusão do termo n_i', que é usado na equação precedente. Aplicando a equação aos dados, nós podemos gerar a seguinte tabela: