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Determinar o tamanho da Amostra para um teste
de vida baseado no parâmetro de forma da distribuição Weibull
A Distribuição Weibull é uma das distribuições mais importantes
na análise de dados de vida. Engenheiros de confiabilidade estão
sempre interessados no desenvolvimento de análises de vida que
podem estimar com precisão o valor de beta que influencia o
comportamento da taxa de falha. Neste artigo, vamos usar o
SimuMatic ®, uma ferramenta de simulação do
Weibull++,
que é utilizado para estudar a propriedade do parâmetro de forma
quando estimado usando o método de máxima verossimilhança (MLE).
Com base nos resultados do estudo da simulação, nós forneceremos
regras simples, que determinam o tamanho da amostra recomendada
para uma análise de vida baseado na precisão de beta.
Para ilustrar como o SimuMatic gera dados, considere a função de
confiabilidade para a distribuição de Weibull:
 (1)
Onde β é o parâmetro de forma e η
é o parâmetro de escala. Para gerar um tempo aleatório falha
t,
um número aleatório
u
de uma distribuição uniforme
U(0,
1) é gerado pela primeira vez e, em seguida, usado para
representar o valor de confiabilidade
R(t).
O tempo de falha
t
, em seguida, é obtida usando a seguinte equação:
 (2)
De Eqs. (1) e (2), podemos ver que o valor
de
η afeta proporcionalmente o tempo da falha gerada, mas ele não
tem um efeito sobre os valores β.
Isso é ilustrado no exemplo a seguir.
Exemplo 1:
-
Na aba Análise, selecione
Máxima probabilidade (MLE).
Deixe todas as outras configurações no padrão.
-
Na
aba Censura, selecione Sem censura.
Clique em Gerar
para iniciar a simulação.
A tabela a seguir mostra os valores estimados de beta e eta para
cada conjunto de dados, quando estimados usando MLE:
Se alterarmos o valor de entrada da eta de 100 para 1, enquanto
manter o resto das configurações inalteradas, os valores
estimados de beta e eta para cada conjunto de dados seria:
As tabelas 1 e 2, podemos ver que o valor de entrada da eta não
tem efeito sobre os valores estimados beta. Não importa qual é o
valor da eta, os valores estimados beta permanecerá o mesmo.
Portanto, o parâmetro de escala não afeta o parâmetro de forma
da distribuição de Weibull. Mas como o tamanho da amostra afeta
o parâmetro de forma?
No SimuMatic, poderíamos usar valores de beta de 0,5, 1, 1.5, 2
e 2.5, juntamente com tamanhos de amostra (número de pontos) de
5, 10, 20, 50 e 100. Para cada combinação de de tamanho da
amostra e valor de beta, podemos gerar 1.000 conjuntos de dados
e obter uma estimativa do beta. Em seguida, obtemos o desvio
médio e padrão de valores beta. Esses valores são dadas em
tabelas 3 e 4, como mostrado a seguir.
As tabelas 3 e 4, podemos ver que para valores de média e de
desvio padrão tem as mesmas proporções que os valores beta que
foram usados na simulação. Por exemplo, na tabela 3, o valor
médio para beta = 1 é duas vezes o valor médio para beta = 0.5.
Este também é o caso para os valores de desvio-padrão.
A seguinte proporção representa a incerteza relativa do beta
estimado:
 (3)
Onde o denominador representa a solução MLE do
beta e o numerador é o valor do desvio padrão do beta. Esta
relação é normalmente chamada o
coeficiente de variação
(CV). Pelos resultados do teste de simulação, sabemos que a
relação é constante para todos os valores de beta para um
tamanho da amostra determinado e que é independente do valor da
beta. Portanto, Eq. (3) pode ser usada para criar uma analise de
vida sem ter de adivinhar o valor do beta em distribuição de
Weibull.
Regra 1: Determinar o Tamanho da Amostra para uma Analise de
Vida Baseado na Inclinação do Beta Requerida
Da tabela 3, podemos ver que a inclinação do beta estimado
diminui conforme aumenta o tamanho da amostra. Neste caso,
inclinação
é a diferença entre o valor de beta que foi usado como entrada
para a simulação e o valor de versão beta que foi estimado de
simulação. O quadro 3, podemos ver também que a diferença
relativa é uma função do tamanho da amostra e é independente dos
valores do beta e eta. A inclinação relativa média calculada a
partir da simulação para os tamanhos de amostra diferentes estão
resumidos na tabela a seguir.
A inclinação relativa (RB) de cada combinação é calculado
usando:
 (4)
O gráfico seguinte mostra os dados na tabela 5.
O gráfico seguinte mostra os dados na tabela 5.
 (5)
Se o esperado ARB deve ser inferior a 20% e, em seguida, Eqn.
(5) nos diz que o número de amostras n
para ser usado em um teste de vida deve ser maior que 9.
Portanto, Eqn. (5) pode ser usado para determinar o tamanho de
amostra de um teste de vida com base em viés necessário do beta.
Regra 2: Determinar o Tamanho da Amostra para uma Analise de
Vida Baseado na Proporção do Limite Superior e Inferior do Beta
Estimado
A relação dos limites representa a largura dos limites de
confiança. Para um dado nível de confiança, quanto maior o
índice, maior a suspensão da estimativa.
Os limites unilaterais superior e inferior de beta, quando
estimados usando MLE, podem ser obtidos por:
 (6)
Onde
é 1-∝
percentual da distribuição normal padrão.
O taxa de β
U
e βl é:
 (7)
Esta proporção é geralmente usada para representar a suspensão
da estimativa do beta. Quanto maior o tamanho da amostra, menor
a relação dos limites. Porque a relação é afetada apenas pelo
tamanho da amostra, e não pelos valores do beta e eta, com isso
a regra 2 também pode ser usada para realizar uma analise de
vida sem ter de adivinhar os valores de eta e beta para a
distribuição de Weibull.
As tabelas 3 e 4, podemos calcular o coeficiente médio de
variação (ACV) para tamanhos de amostra diferentes, conforme
mostrado na tabela a seguir.
O gráfico seguinte mostra os dados da tabela 6.
Se podemos ajustar os dados na tabela 6 para uma função de
poder, então nós temos:
 (8)
Para um limite de confiança unilateral de
90%, a relação entreΒ
L
e
βu
é:
 (9)
Se a relação dos limites esperados deve ser
inferior a 1,5, então a Eqn. (9) nos diz que o valor da ACV
precisa ser menor que 0.1582. Portanto, se estabelecermos a ACV
para 0.1582 na Eqn. (8), o tamanho mínimo da amostra
n
estima-se ser 30.59 ou 31. O próximo exemplo valida regra 2
usando SimuMatic. Uma validação semelhante pode ser feita para a
regra 1.
Exemplo 2:
-
Suponha que a proporção de limites é inferior a 1,5. Do estudo
da regra 2, sabemos que o tamanho mínimo da amostra é de 31. No
SimuMatic, crie uma nova simulação usando as seguintes
configurações:
Certifique-se de que o número de pontos é 31,
que é o tamanho mínimo da amostra. Defina o número de conjuntos
de dados
1000.
Na área de parâmetros, podemos usar quaisquer valores para beta
e ate porque as regras 1 e 2 não são dependentes desses valores.
Esta é a maravilha destas duas regras. Para este exemplo, use
Beta = 2.3 e Eta = 1.
-
Na aba Análise, selecione
Máxima probabilidade (MLE).
Deixe todas as outras configurações no padrão.
-
Na
aba Censura, selecione Sem censura.
Clique em Gerar
para iniciar a simulação.
A tabela a seguir mostra os valores estimados de beta e eta para
cada conjunto de dados, quando estimados usando MLE:
Nos resultados, exiba a folha de dados de "Ordenado". A figura a
seguir mostra que
limite de confiança unilateral inferior de 90% de beta.
A figura a seguir mostra que
limite de confiança unilateral superior de 90% de beta.
A relação entreΒ
U
e
βl
é 2.8741/1.9605 = 1.4660, que é menor do que o valor necessário
de 1.5.
Conclusão
Neste artigo, propõem-se duas regras simples para determinar o
tamanho de amostra de uma analise de vida onde todas as amostras
são testadas até a falha. Eqs. (5) e (8) foram criadas com base
nos resultados da simulação de SimuMatic. Embora elas não são de
um derivativo matemática rígido, exemplos mostram que eles são
precisas e simples de aplicar. Regra 2, no entanto, é mais
comumente usada que a regra 1 porque inclinação geralmente não
uma grande preocupação em relação à suspensão nas estimativas de
beta. Para obter mais detalhes sobre MLE e limites de confiança,
consulte [1,
2]
Referências
[1]
Meeker, w. e Escobar, L, Métodos estatísticos para
confiabilidade de dados, John Wiley & Sons, Inc., New York,
1998.
[2]
Nelson, w., Aplicada a análise de dados de vida, John
Wiley & Sons, Inc., New York, 1982. |
