Edição 37, Abril 2008

Você possui uma pequena quantidade de dados: O que você faz?

Não é estranho os engenheiros serem pressionados para tomar decisões rápidas e baseadas em pouca informação. Para muitos engenheiros, isto é quase uma "regra". O custo elevado de testes de confiabilidade, a velocidade do mercado e a concorrência, frequentemente exigem que analistas e engenheiros trabalhem com uma quantidade de dados menor do que o ideal. Existem bancos de dados sem registro de falhas, com apenas algumas falhas ou ainda com poucas falhas e muitas suspensões (unidades sobreviventes). Se você é um destes engenheiros que convive com a pressão por decisões rápidas e quer saber como você pode conseguir boas estimativas de confiabilidade a partir de uma pequena quantidade de dados, veja aqui. Este artigo apresenta uma série de abordagens que podem ser utilizadas para analisar pequenas séries de dados de vida no Weibull++.
 

Análise não-paramétrica.
A análise não-paramétrica permite a análise de dados de vida sem utilizar uma distribuição subjacente. Isto pode ser vantajoso se você não estiver seguro para assumir uma distribuição pelo fato de estar lidando com com modos de falha desconhecidos, os quais você não possui informação suficiente ou se você sentir dificuldades para identificar uma distribuição que seja representativa para os seus dados devido a um histórico limitado. Por outro lado, os limites de confiança associados as análises não-paramétricas são geralmente muito maiores do que aqueles calculados através de análises paramétricas e não é possível realizar predições fora da escala das observações, o que limita extremamente esta aproximação. 

Para o restante deste artigo, vamos utilizar os seguintes dados estabelecidos para ilustração. Eles descrevem os resultados do teste de uma amostra de unidades que integram uma pequena melhoria a partir de um projeto anterior. O conjunto de dados contém algumas falhas e muitas suspensões.

Figura 1 – Pequena Série de Dados Analisados Não-Paramétricamente

Distribuição Exponencial

A análise com distribuição exponencial é uma aproximação paramétrica que pode ser usada para modelar o comportamento das unidades que têm uma taxa de falha constante (unidades que não degradam com o tempo ou que não tem característica de desgaste). Quando a distribuição exponencial tem apenas um parâmetro, ela é mais robusta para poucas amostras e apresentará uma incerteza menor do que distribuições com dois ou mais parâmetros. Uma outra aplicação da distribuição exponencial é que ela pode ser usada com séries de dados que não têm nenhuma falha (somente suspensões). Entretanto, o principal inconveniente de usar a distribuição exponencial é a suposição de que as falhas são puramente aleatórias (chance de falha), uma suposição que normalmente não é válida.

Supondo que o projeto tem uma taxa de falha constante, nós obtemos o seguinte gráfico de probabilidade (com limites inferior e superior de confiança de 90% na confiabilidade) para a série de dados na tabela 1.

Figura 2 – Pequena Série de Dados Analisadas com uma Distribuição Exponencial

Distribuição Weibull de Um Parâmetro
Como a distribuição exponencial, a distribuição de Weibull de um parâmetro é um modelo de um parâmetro. No entanto, a vantagem da distribuição de Weibull de um parâmetro é sua habilidade de modelar produtos com taxa de falha crescente, taxa de falha constante e taxa de falha decrescente. Esta distribuição é baseada na distribuição comum de Weibull, mas supõe-se a forma do parâmetro β, é um valor conhecido.

Esta distribuição é conhecida também como distribuição de “WeiBayes”. A vantagem desta distribuição sobre a de dois parâmetros ou a comum de Weibull é que a mesma é mais robusta, porque ela só irá estimar um parâmetro, η, e portanto as incertezas serão menores do que a de dois parâmetros. O preço que você paga com esta aproximação é que você precisa determinar um valor de β. Isto pode ser feito baseado no conhecimento, utilização e comparação com testes similares realizados anteriores ou experiências. A palavra “similares” é a chave aqui. Você não pode usar um β anterior se a série de dados que você está analisando vier de unidades que falham devido a modos de falha diferentes.

Em nosso exemplo, vamos supor que as observações prévias baseadas em um projeto anterior indicaram que β é tipicamente 1.3. Não tenha muito receio em afirmar que o valor de β está "correto", porque você não pode saber o valor real. Você poderia tentar alguns valores possíveis de β e avaliar o impacto sobre as previsões. A figura seguinte mostra a probabilidade de Weibull de um parâmetro com β= 1.15,  β=1.2 e β=1.3 e 90%  de limites de confiança bilaterais.

Figura 3 - Pequena Série de Dados Analisados com Weibull de um parâmetro e Diferentes valores de β

Análise Bayesiana

A condição básica da Bayesiana é incorporar conhecimento prévio junto com um determinado conjunto de observações atuais, a fim de realizar deduções estatísticas. As primeiras informações deverão vir de dados observados, experimentos anteriormente feitos ou conhecimentos de engenharia. Este tipo de análise é especialmente útil em casos em que há falta de testes atuais, mas há um forte entendimento prévio sobre os parâmetros do modelo de vida assumido e uma distribuição pode então ser utilizada. Incorporando informações prévias sobre um parâmetro, podemos utilizar uma distribuição e realizar estimativas adequadas para obter a confiabilidade. O Weibull++ oferece a distribuição Weibull-Bayesian a qual combina as propriedades da distribuição Weibull com os conceitos e estatísticas Bayesianas.

Esta aproximação vai além dos conceitos de aproximações vistos anteriormente (Weibull de um parâmetro). Aqui, ao invés de simplesmente determinarmos valores de β para realizar a análise, nós utilizamos um modelo probabilístico que descreve nosso conhecimento a respeito do valor de β. O modelo de Weibull Bayesiana é realmente um verdadeiro modelo de "WeiBayes" que oferece uma alternativa para a Weibull de um parâmetro incluindo a variação e a incerteza observada no passado a respeito do comportamento do parâmetro.

Vamos supor que observações anteriores sobre projetos precedentes exibem que β segue uma distribuição normal com μ = 1.2 e σ = 0.1. A figura a seguir exibe o gráfico de probabilidade Weibull-Bayesian correspondente com 90% de confiança bilateral sobre a confiabilidade.

Figura 4 - Pequena Série de Dados Analisados com a Distribuição Weibull-Bayesiana

Nota:

O que está descrito acima é uma seleção de distribuições típicas (exponencial, Weibull com um parâmetro e Weibull Bayesiana) que tem propriedades convenientes e aplicações práticas para pequenas quantidades de dados analisados. Isto não significa que outras distribuições (como uma Weibull de dois parâmetros, Lognormal, Normal, Gamma, Gumbel, etc.) não podem ser usadas. De um ponto de vista teórico, qualquer distribuição, quando as mínimas exigências dos dados para o modelo ajustado são encontradas, podem ser usadas para analisar os dados. Como um exemplo, a próxima figura exibe o gráfico e probabilidade de Weibull de dois parâmetros com 90% de confiança bilateral  na confiabilidade.

Figura 5 - Pequena Série de Dados Analisados com a Distribuição de Weibull de Dois Parâmetros.

Observe que na figura acima, os limites de confiança para a Weibull de dois parâmetros são maiores se comparados aos limites das figuras 3 e 4. Isto acontece pelo fato de que no caso da Weibull de um parâmetro e a distribuição Weibull Bayesiana, a idéia anterior sobre o parâmetro β é utilizada e ajuda a reduzir a incerteza das estimativas.

Outras Abordagens:

Ensaios Acelerados

Se você está preocupado que um número insuficiente de falhas ocorrerá durante o seu teste, você poderá acelerar o teste aumentando os esforços (estresses) para produzir mais falhas no mesmo (ou menor) espaço de tempo. Ensaios de vida acelerados introduzem uma outra série de considerações e desafios que frequentemente requer um tamanho de amostra maior ou igual o do teste padrão. Entretanto, quando executado corretamente, isto pode ser uma boa maneira para evitar que se tenha um banco de dados predominado por suspensões.

Análise de Degradação

Análise de Degradação é outra alternativa para analisar uma série de dados que contém poucas falhas e muitas suspensões. Muitos mecanismos de falha podem ser atribuídos diretamente pela degradação de um item ou uma característica do produto (ex. desgaste de pastilhas de freio, escapamentos, nível de ruído, temperatura, propagação de trincas, etc). A Análise de Degradação facilita a extrapolação para o tempo de falha baseado nas medidas de degradação ou desempenho. Para projetar tempos de falhas, uma distribuição pode ser utilizada e consequentemente os cálculos da confiabilidade tornam-se praticáveis.

Esta abordagem também apresenta outros desafios. Você precisa ser capaz de medir a degradação, o que pode significar um investimento adicional em equipamentos. Isto também requer conhecimento (do mecanismo da falha) sobre como a degradação evolui com o tempo.

Nota

Tipicamente, testes acelerados e análises de degradação não são abordagens "depois do evento". Em outras palavras, você precisa planejar e aplicá-los antes de começar o teste. Nos casos onde você não está obtendo dados de testes e sim dados de campo ou retorno de garantia, você pode então não ser capaz de aplicar essas abordagens, devido a não ter controle total sobre as condições de uso pelo cliente. Isso é, você não pode pedir ao seu cliente para modificar a condição de uso ou monitorar a degradação do produto ao longo do tempo (a menos que seus produtos tenham sensores que possam coletar dados durante a vida do produto em campo).

Conclusão

Devido a dificuldade em conseguir uma grande quantidade de dados, este artigo apresenta uma visão geral de diferentes técnicas para análise de uma pequena série de dados. Alguns pontos de atenção: Sempre use o bom senso. Não aceite resultados cegamente, principalmente com poucos dados -- nesses casos seu conhecimento em engenharia desempenha um papel fundamental.

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