(1)

onde:

• f(θ|Data) é a pdf a posteriori de θ.
• θ é o vetor de parâmetros da distribuição escolhida (isto é, Weibull, lognormal, etc.)
• L(.) é a função de verossimilhança.
• φ(θ) é a pdf a priori do vetor de parâmetros.
• ς é o tamanho de θ.

Em outras palavras, a priori é o conhecimento prévio fornecido pela forma da pdf a priori dos parâmetros, que é combinado por sua vez com os dados da amostra a fim obter a pdf a posteriori. Existem diferentes formas de informação existentes da priori, como dados passados, a opinião de um perito ou priori não-informativa. Pode-se ver na Eq (1) que agora nós estamos tratando das melhores distribuições dos parâmetros ao invés dos únicos valores dos parâmetros. Por exemplo, considere uma distribuição de um parâmetro com um valor positivo θ₁. Dado um conjunto de dados da amostra e uma distribuição a priori para θ₁, a Eq (1),  φ(θ₁) pode ser escrita como:

(2)

Ou seja, agora nós temos a distribuição de θ₁ e podemos fazer inferências estatísticas deste parâmetro, tal como calcular probabilidades. Especificamente, a probabilidade de θ₁ ser menos ou igual a um valor x, P( θ₁ ≤ x ) pode ser obtida integrando a Eq (2), ou seja:

(3)

A Eq (3) calcula essencialmente um limite de confiança para o parâmetro, onde P( θ₁ ≤ x ) é o nível de confiança e x é o limite de confiança. (Obs.: Em inferência bayesiana, a expressão intervalo de confiança não é correta. Intervalo de credibilidade é a expressão correta. Entretanto, já que a perspectiva da aplicação dá a mesma interpretação do resultado, nós usaremos a expressão intervalo de confiança para evitar a confusão). Substituindo a Eq (2) na Eq (3) resulta:

(4)

A única questão nesse momento é qual distribuição a priori para θ₁ devemos utilizar. Para o cálculo do intervalo de confiança, uma distribuição a priori não-informativa é utilizada. A distribuição a priori não-informativa não têm nenhuma informação da população e faz um papel de mínimo na distribuição posteriori. A idéia de fazer uso de uma distribuição a priori não-informativa é fazer com que a inferência não seja afetada por informação externa, ou quando uma informação externa não está disponível. No caso geral dos cálculos dos intervalos de confiançaa confiança usando métodos bayesianos, o método deve ser independente da informação externa e deve confiar somente nos dados atuais. Conseqüentemente, as priori não-informativas são utilizadas. Especificamente, a distribuição uniforme é usada como uma distribuição priori para diferentes parâmetros da distribuição selecionada para ser selecionada. Por exemplo, se a distribuição Weibull é ajustada aos dados, é assumido a distribuição uniforme  como distribuições prioris para beta e eta.

A Eq (4) pode ser generalizada para toda distribuição que tem um vetor de parâmetros θ, que rende a equação geral para o cálculo do intervalo de confiança Bayesiano:

(5)

onde:

• CL é nível de confiança;
• θ é o vetor de parâmetros;
• L(.) é a função de verossimilhança;
• φ(θ) é a pdf a priori do vetor de parâmetros;
• ς é o comprimento de θ.
• ξ é o comprimento de cada θ variando Ψ(T,R) do valor máximo de θ  até mínimo de θ para Ψ(T,R). Ψ(T,R) é a função tal que se T é dado então o intervalos de confiança é calculado para R e se R é dado, então é calculado o intervalo para T.

Se T é dado, então a Eq (5) e Ψ e para um dado CL, o intervalo para R pode ser calculado. Para mais detalhes, clique aqui.

Se R é dado, então a Eq (5) e Ψ e para um dado CL, o intervalo para T pode ser calculado. Para mais detalhes, clique aqui.

Quando o conjunto de dados que está sendo analisado é pequeno, o método Bayesiano para o cálculo dos intervalos de confiança é geralmente preferido ao invés de Matriz de Fisher, Razão de Verossimilhança e o método Beta Binomial. A vantagem do método Bayesiano para os intervalos está no fato de fazer poucas suposições sobre a distribuição dos parâmetros. O método de Matriz de Fisher assume uma suposição de normalidade. O método de Razão de Verossimilhança supõe que

tem uma distribuição Qui-Quadrado. O método Beta Binomial é um método não-paramétrico, que impede de fazer predições fora da escala dos dados. (Note também que no Weibull++ 7 o método Beta Binomial está disponível somente para distribuição Weibull Mista.) O método de Bayesiano para o Intervalo de Confiança disponível para todas suposições desde que a distribuição posterior é calculada diretamente.