Introdução a Teoria
da Probabilidade
Com o BlockSim 7 é possível realizar a análise de confiabilidade do sistema, a mantenabilidade,
a disponibilidade, a otimização, a análise de produção e muito mais.
Em edições passadas da HotWire, muitos tópicos a respeito da
confiabilidade do sistema foram discutidos. No último mês da HotWire, o tópico
apresentado foi a construção algébrica de um RBD e uma FTA. Mas quais são os conceitos básicos
para construção dos diagramas de blocos de
confiabilidade do sistema e da teoria de probabilidade? Este
artigo apresentará uma introdução à estes conceitos.
Terminologia
A terminologia a seguir é muito importante
na montagem e em analise de
diagramas de bloco da confiabilidade.
-
Experimento (E):
Um experimento é definido como toda a ação que puder resultar em um
número de resultados. Por exemplo, a observação de uma peça se é
defeituosa ou não pode ser considerado um experimento.
-
Resultado (O):
Um resultado é definido como todo o possível resultado de um
experimento.
-
Espaço Amostral
(S):
O espaço amostral é definido como todos os resultados
possíveis de um experimento. -
Evento:
Um evento é uma coleção dos resultados. -
União
de dois eventos
A e B (A
 B):
A união de dois eventos A e B é o conjunto de resultados que pertencem a A
ou B ou ambos.
-
Intersecção
de dois eventos A e B (A
 B):
A interseção de dois eventos A e B é o conjunto de resultados que pertencem
a A e a B. -
Complemento
de um evento A ( ): Um complemento de um
evento A contem todos os resultados do espaço amostral S que não
pertencem a A.-
Evento Nulo ( ):
Um evento nulo é um conjunto vazio, e não tem nenhum resultado. -
Probabilidade:
A probabilidade é uma medida numérica de plausibilidade de um relativo evento a um
conjunto de eventos alternativos. Por exemplo, há uma
probabilidade de 0,5 de observar caras ao lançar uma moeda (supondo uma moeda justa ou
não viesada).
Teoria da Probabilidade Exemplo de
Experimento
Considere um experimento que consista no
lançamento de um dado de seis lados. Os números em cada lado do dado são os
resultados possíveis. O espaço amostral correspondente é S = {1, 2, 3,
4, 5, 6}.
Tomando A como sendo o conjunto de resultado 3, 4 ou 6 (A = {3, 4, 6})
e B como sendo o conjunto de resultado 2, 3 ou 5 (B = {2, 3, 5}).
- A união de A e B é: A
B = {2, 3, 4, 5, 6}.
- A intersecção de A e B é: A
B = {3}.
- O complemento de A é:
= {1, 2, 5}.
Propriedades, Teoremas e Axiomas de
Probabilidade
A probabilidade de um evento A é expressada
como P(A), e tem as seguintes propriedades:
Ou seja, quando é certo que um evento ocorrerá, ele tem uma
probabilidade igual a 1 e quando é impossível ocorrer, ele tem uma
probabilidade igual a 0. Pode-se mostrar que a probabilidade da união de
dois eventos A e B é:
Similarmente, a probabilidade da união de três eventos, A, B e C, é
dada por:
Eventos Mutuamente Exclusivos
Dois eventos A e B são definidos como sendo
mutuamente exclusivos se for impossível eles ocorrer simultaneamente
(A
B =
). Nesses casos, a expressão para a união destes dois eventos
reduz-se a:
desde que a probabilidade de interseção destes eventos é definida
como zero.
Probabilidade Condicional
A probabilidade condicional de dois eventos,
A e B, é definida como a probabilidade de um dos eventos que ocorrer
sabendo que o outro evento já tenha ocorrido. A expressão abaixo denota a
probabilidade de A ocorrer dado que B já tenha ocorrido.
|
 |
(1) |
Note que, sabendo a ocorrência do evento B reduzirá o espaço de amostral.
Independência dos Eventos
Se a ocorrência ou não de B não
afetar na probabilidade de ocorrência sobre A, os eventos são o independentes e a
expressão da probabilidade condicional se reduz a:
Da definição de probabilidade condicional, Eq. (1) pode ser
escritos como:
Desde que os eventos A e B são independentes, a expressão se reduz a:
Se um grupo n de eventos, Ai, forem independentes, então:
Como ilustração, considere o resultado de um lançamento
de uma dado de seis lados. A probabilidade de aparecer um 3 é P(O = 3)
= 1/6 = 0.16667. Todos os lançamentos subseqüentes dos dados são eventos
independentes, desde que o conhecimento do resultado dos primeiros dados
do lançamento
não dá nenhuma informação a respeito do resultados subseqüentes (a menos que os dados
sejam tendenciosos). Assim, a probabilidade
de resultar um 3 no segundo lançamento do dados é novamente P(O = 3) = 1/6 =
0.16667. Entretanto, se a pergunta é qual a probabilidade de resultar
dois 3 em um lançamento duplo de um dado, o resultado seria = 0.027778 (ou
1/36).
Statistical Background Example 1
Considere o seguinte sistema onde dois
membros articulados estão prendendo uma carga no lugar.
O sistema falha se qualquer um dos componentes falharem e a carga for
movida de sua posição
- Let A = event of
failure of Component 1 and the event of not failure of Component
1.
- Let B = event of
failure of Component 2 and the event of not failure of Component
2.
A falha ocorre se o Componente 1 ou o Componente 2 ou ambos falharem. A
probabilidade do sistema falhar (ou desconfiabilidade) é:
Assumindo independência (ou que a falha de um componente não influencia
o sucesso ou a falha do outro componente), a probabilidade de falha do
sistema transforma-se na soma das probabilidade de A e B ocorrerem menos
a probabilidade dos dois ocorrerem juntos:
Uma outra aproximação é calcular a probabilidade do sistema não falhar
ou a confiabilidade do sistema:
Então, a probabilidade de falha do sistema é simplesmente 1 (ou 100%)
menos a confiabilidade:
Statistical Background Example 2
Considere o seguinte sistema de uma carga que
está sendo prendida em uma posição por dois membros rígidos:
- Seja A = evento de falha do Componente 1.
- Seja B = evento de falha do Componente 2.
- O sistema falha se o Componente 1 e o Componente 2 falharem. Em
outras palavras, o sistema falha se ambos sistemas falarem.
A probabilidade de falha do sistema é definida como a intersecção dos
eventos A e B:
Assumindo independência (isto é qualquer um dos membros é
suficientemente forte para prender a carga no lugar), a probabilidade de
falha do sistema transforma-se no produto das probabilidades de falha de
A e de B:
A Confiabilidade do sistema, agora torna-se:
|
