O teste de Hipótese de Beta Comum é aplicado aos seguintes tipos de dados disponíveis no RGA 6:Múltiplos Sistemas (Tempos Equivalentes Desconhecidos), Sistemas Reparáveis e Frotas. Como mostrado por Crow^[1], suponha que um número k de sistemas são postos em teste. Cada sistema tem uma função de intensidade dada pela Eqn. 1.

(1)

quando q = 1, ... , K. Você pode comparar a função de intensidade de cada sistema pela comparação do de cada sistema. O teste CBH testa a hipótese, H_o, tal que β₁ = β₂ =...= β_K. Em outras palavras, o teste CBH testa as hipóteses que a chegada entre as taxa de falhas dos sistemas regularmente consistentes.

Tomamos denotando a estimativa condicional máxima verossimilhança de , que é dada por:

(2)

onde:

• K = 1

• M_q = N_q se o dado do sistema q^th é o tempo final ou M_q = (N_q - 1) se o dado do sistema q^th é terminado como falha (N_q é o número de falha do sistema q^th)

• X_iq é o i^th temo até a falha do sistema q^th

Então cada sistema, assume que:

são condicionalmente independente distribuídos com variável aleatória Qui-Quadrado com 2M_q graus de liberdade. Quando K = 2, você pode testar o número de hipótese H_o, usando a seguinte estatística:

(3)

Se H_o, é verdade, então F é igual e tem condicionalmente uma distribuição F com (2M₁, 2M₂) graus de liberdade. O valor crítico, F, pode então ser determinado consultando a tabela Qui-Quadrado. Agora, se K ≥ 2, então a razão de verossimilhança[1] pode ser usada para testar as hipóteses β₁ = β₂ =...= β_K. Considere a seguinte estatística:

onde:

Também, temos:

Calculado a estatística D, temos que:

A estatística D aproximadamente distribuída com uma variável aleatória Qui-Quadrado com (K - 1) graus de liberdade. Então, após calcular D, consulte a tabela Qui-Quadrado com (K - 1) graus de liberdade para determinar os pontos críticos. H_o é verdade se a estatística D estiver entre os pontos críticos.

Exemplo
Considere os dados da seguinte tabela.

Tabela 1 - Dados dos Sistemas Reparáveis

Dado que a função densidade para o sistema q^th é:

o teste de hipótese β₁ = β₂, que assume um nível de significância igual a 0,05. Calculando e usando a Eq. 2.

Então:

Usando a Eq. 3, calculado a estatística F com um nível de significância de 0,05.

F = 2.0980

Desde que 1.2408 < 2.0980, a hipótese que β₁ = β₂ é aceita ao nível de significância de 5%. Agora suponha que se deseja testar a hipótese que β₁ = β₂ = β₃. Calculando a estatística D usando a Eq. 4.

D = 0.5260

Usando a tabela Qui-Quadrado com K-1 = 2 graus de liberdade, o valor para os percentis 2,5 e 97,5 são 0,1026 e 5,9915, respectivamente. Desde que 0,1026 < D < 5,9915, a hipótese β₁ = β₂ = β₃ é aceita ao nível de significância de 5%.

Esta análise pode ser repetida no RGA 6. Os dados são inseridos em uma planilha de dados para múltiplos sistemas fazendo as seguintes seleções do tipo de dados em Data Type Expert:

O conjunto de dados são inseridos como se segue:

O nível de significância pode ser especificado em User Setup (disponível no menu File) inserindo o nível requerido na caixa Significance Level ná página Data Folio, como mostrado a seguir.

Após analisar os dados, o resultado do teste de CBH (Rejeita ou Não=Passed) será mostrado na área de resultados do painel de controle do Data Folio, como mostrado na figura.

Mais detalhes dos resultados do teste CBH podem ser encontrados na janela Results, que podem ser acessados selecionando Show Other  e então Statistical Tests no menu Data.

A janela de resultados mostrando acima nos diz que 0.1026 < D < 5.9915, entretanto os dados passaram no teste de CBH (isto é, pode ser assumido que os valores dos betas são iguais e que os sistemas possuem comportamentos similares).

Referência:

1. Crow, L.H., "Reliability Analysis for Complex, Repairable Systems in Reliability and Biometry," SIAM, ed. by Proschan and R. J. Serfling, Philadelphia, Pennsylvania, pp. 379-410, 1974.