Edição 12, Fevereiro 2006

Usando o método do gráfico de contorno, os limites dos parâmetros são calculados encontrando os valores extremos gráfico de contorno em cada linha central para um nível dado de confiança. Desde que cada linha central representa os valores possíveis de um parâmetro dado, os limites do lote do contorno representam os valores extremos dos parâmetros que se satisfazem:

Essa equação pode ser reescrita como:

A tarefa agora é encontrar os valores dos parâmetros de modo que a igualdade da Eq 1 esteja satisfeita.:

Infelizmente, não há nenhuma solução de forma fechada; conseqüentemente, estes valores devem ser estimados numericamente. Um método de fazer isto é manter um parâmetro constante e iterá-lo no outro até que uma solução aceitável seja alcançada. Isto pode-se tornar complicado, desde que haverá duas soluções para um parâmetro se o outro for mantido como constante. Em situações tais como estas, é melhor começar pelo cálculos iterativos com os valores perto daqueles dos valores de MLE, para assegurar-se de que um não esteja executando cálculos fora da região do gráfico de contorno, onde nenhuma solução existe.

Exemplo 1

Cinco unidades são postas sobre um teste de confiabilidade e experimentadas até a falha em 10, 20, 30, 40, e 50 horas. Supondo a distribuição Weibull de 2 parâmetros, as estimativas do parâmetro de MLE são calculadas e os resultados são: b = 2.2938 e h = 33.9428. Calcule os limites de confiança bilateral de 90% para estes parâmetros usando o método da razão de verossimilhança.

A primeira etapa é calcular a função de probabilidade para as estimativas dos parâmetros:

onde os pontos x_i são os tempos até a falha originais. Nós podemos rearranjar a Eqn. (1) como:

Desde que nosso nível especificado da confiança, d, é 90%, nós podemos calcular o valor da estatística qui-quadrado, c²_0.9;1 = 2.705543. Nós substituímos então esta informação na equação:

A etapa seguinte é encontrar o conjunto de valores de b e h que satisfazem esta equação, ou encontrar os valores de b e h tais que L(b, h) = 4.432926*10^-10. A solução é um processo iterativo que requer o ajuste do valor de b e encontrar os valores apropriados de h, e versa vice. A seguinte tabela dá os valores de b baseados em valores dados de b e h.

Esta série de dados de é representada graficamente no seguinte gráfico de contorno:

(Note que este gráfico foi gerado com k=1 graus de liberdade, como nós estamos determinando somente limites de um parâmetro. Os gráficos de contorno gerados pelo Weibull++ são construídos com k=2 graus de liberdade, por causa de comparar ambos os parâmetros simultaneamente). Como pode ser determinado pela tabela, o valor calculado mais baixo para  b é 1.142, enquanto o maior é 3.950. Estes representam os limites de confiança bilateral de 90% para este parâmetro. Desde que as soluções para a equação não existam para valores de h abaixo de 23 ou acima de 50, estes podem ser considerados os limites de confiança de 90% para este parâmetro. A fim obter valores mais exatos para os limites de confiança de h, nós podemos executar o mesmo procedimento que antes, mas encontrando os dois valores de h que correspondem com um valor dado de b. Usando este método, nós encontramos que os limites de confiança de 90% para h são 22.474 e 49.967, que estão pertos das estimativas iniciais de 23 e de 50.

Note que os pontos de máximo e os pontos mínimos de b não correspondem necessariamente com os pontos de máximo e os pontos mínimos de h.

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