Introdução a Teoria da Probabilidade 

Teoria da Probabilidade Exemplo de Experimento

Considere um experimento que consista no lançamento de um dado de seis lados. Os números em cada lado do dado são os resultados possíveis. O espaço amostral correspondente é S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Tomando A como sendo o conjunto de resultado 3, 4 ou 6 (A = {3, 4, 6}) e B como sendo o conjunto de resultado 2, 3 ou 5 (B = {2, 3, 5}).

• A união de A e B é: A B = {2, 3, 4, 5, 6}.
• A intersecção de A e B é: A B = {3}.
• O complemento de A é: = {1, 2, 5}.

Propriedades, Teoremas e Axiomas de Probabilidade

A probabilidade de um evento A é expressada como P(A), e tem as seguintes propriedades:

Ou seja, quando é certo que um evento ocorrerá, ele tem uma probabilidade igual a 1 e quando é impossível ocorrer, ele tem uma probabilidade igual a 0. Pode-se mostrar que a probabilidade da união de dois eventos A e B é:

Similarmente, a probabilidade da união de três eventos, A, B e C, é dada por:

Eventos Mutuamente Exclusivos

Dois eventos A e B são definidos como sendo mutuamente exclusivos se for impossível eles ocorrer simultaneamente (A B = ). Nesses casos, a expressão para a união destes dois eventos reduz-se a:

desde que a probabilidade de interseção destes eventos é definida como zero.

Probabilidade Condicional

A probabilidade condicional de dois eventos, A e B, é definida como a probabilidade de um dos eventos que ocorrer sabendo que o outro evento já tenha ocorrido. A expressão abaixo denota a probabilidade de A ocorrer dado que B já tenha ocorrido.

Note que, sabendo a ocorrência do evento B reduzirá o espaço de amostral.

Independência dos Eventos

Se a ocorrência ou não de B não afetar na probabilidade de ocorrência sobre A, os eventos são o independentes e a expressão da probabilidade condicional se reduz a:

Da definição de probabilidade condicional, Eq. (1) pode ser escritos como:

Desde que os eventos A e B são independentes, a expressão se reduz a:

Se um grupo n de eventos, Ai, forem independentes, então:

Como ilustração, considere o resultado de um lançamento de uma dado de seis lados. A probabilidade de aparecer um 3 é P(O = 3) = 1/6 = 0.16667. Todos os lançamentos subseqüentes dos dados são eventos independentes, desde que o conhecimento do resultado dos primeiros dados do lançamento não dá nenhuma informação a respeito do resultados  subseqüentes (a menos que os dados sejam tendenciosos). Assim, a probabilidade de resultar um 3 no segundo lançamento do dados é novamente P(O = 3) = 1/6 = 0.16667. Entretanto, se a pergunta é qual a probabilidade de resultar dois 3 em um lançamento duplo de um dado, o resultado seria = 0.027778 (ou 1/36).

Statistical Background Example 1

Considere o seguinte sistema onde dois membros articulados estão prendendo uma carga no lugar.

O sistema falha se qualquer um dos componentes falharem e a carga for movida de sua posição

• Let A = event of failure of Component 1 and the event of not failure of Component 1.
• Let B = event of failure of Component 2 and the event of not failure of Component 2.

A falha ocorre se o Componente 1 ou o Componente 2 ou ambos falharem. A probabilidade do sistema falhar (ou desconfiabilidade) é:

Assumindo independência (ou que a falha de um componente não influencia o sucesso ou a falha do outro componente), a probabilidade de falha do sistema transforma-se na soma das probabilidade de A e B ocorrerem menos a probabilidade dos dois ocorrerem juntos:

Uma outra aproximação é calcular a probabilidade do sistema não falhar ou a confiabilidade do sistema:

Então, a probabilidade de falha do sistema é simplesmente 1 (ou 100%) menos a confiabilidade:

Statistical Background Example 2

Considere o seguinte sistema de uma carga que está sendo prendida em uma posição por dois membros rígidos:

• Seja A = evento de falha do Componente 1.
• Seja B = evento de falha do Componente 2.
• O sistema falha se o Componente 1 e o Componente 2 falharem. Em outras palavras, o sistema falha se ambos sistemas falarem.

A probabilidade de falha do sistema é definida como a intersecção dos eventos A e B:

Assumindo independência (isto é qualquer um dos membros é suficientemente forte para prender a carga no lugar), a probabilidade de falha do sistema transforma-se no produto das probabilidades de falha de A e de B:

A Confiabilidade do sistema, agora torna-se: